จำนวนจริง

สรุปเนื้อหาเรื่อง จำนวนจริง

• จำนวนอตรรกยะ
• จำนวนตรรกยะ
  • จำนวนเต็ม
    • จำนวนเต็มลบ
    • จำนวนเต็มศูนย์
    • จำนวนเต็มบวก
  • ไม่ใช่จำนวนเต็ม

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ แบ่งได้เป็น

• จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น -1.5, 3,22/7
• จำนวนตรรกยะที่เป็น
  • จำนวนเต็มบวก เช่น 1, 2, 3, 4, 5, … , 7/7 , 14/7
  • จำนวนเต็มศูนย์ เช่น 0, 0/5
  • จำนวนเต็มลบ เช่น -1 , -2, -3, -4, …, – 7/7 , – 14/7

สมบัติของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติการเท่ากัน

• สมบัติการสะท้อน a = a
• สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
• สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
• สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
• สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

สมบัติการบวก

• สมบัติปิด ถ้า a ϵ R และ b ϵ R แล้ว a + b ϵ R
• สมบัติการสลับที่ จะได้ a + b = b + a
• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม จะได้ a + (b + c) = (a + b) + c
• สมบัติมีเอกลักษณ์การบวก คือ 0 จะได้ 0 + a = a + 0 = a
• สมบัติมีอินเวอร์สการบวก a มีอินเวอร์สการบวกคือ -a และ -a มีอินเวอร์สการบวก คือ a จะได้ a + (-a) = (-a) + a = 0

สมบัติการคูณ

• สมบัติปิด ถ้า a ϵ R และ b ϵ R แล้ว a.b ϵ R
• สมบัติการสลับที่ จะได้ a.b = b.a
• สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม จะได้ a.(b.c) = (a.b).c
• สมบัติมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 จะได้ 1.a = a.1 = a
• สมบัติมีอินเวอร์สการคูณ (ยกเว้น 0 เพราะ 1/0 ไม่มีความหมาย) a มีอินเวอร์สการคูณคือ 1/a และ 1/a มีอินเวอร์สการคูณ คือ a จะได้ a. 1/a = 1/a .a=1

สมบัติการคูณและการบวก

• สมบัติการแจกแจง จะได้ a(b+c)=a.b+a.c

เอกลักษณ์ที่ถูกนำไปใช้บ่อยในการแก้สมการพหุนาม หรือ อสมการพหุนาม

• (a +b)²= a²+2ab+b²
• (a-b)²=a²-2ab+b²
• a²-b²=(a-b) (a+b)
• (a+b)³-a³ +3a²b + 3ab² + b³
• (a-b)³=a³-3a²b+3ab²– b³
• a³+ b³=(a+b) (a²-ab+b²)
• a³– b³=(a-b) (a²+ab+b²)

พหุนามคือ พจน์ติดตัวแปรที่เขียนได้ในรูป a_nxⁿ + a_n−1 xⁿ⁻¹ + an−2xⁿ⁻² + … + a₁+a₀ โดย

• nคือ ดีกรี หรือ กำลังของพหุนาม
• anคือ สัมประสิทธิ์ของพจน์แรก

การแก้สมการพหุนามรูปทั่วไป

1. ย้ายข้างให้ข้างหนึ่งของสมการมี่ค่าเป็น 0 และอีกข้างให้ ส.ป.ส. หน้าตัวแปรยกกำลังสูงสุดมีค่าเป็นบวก
2. หากพหุนามมีตัวร่วมให้ดึงออกมา และหากเป็นค่าคงตัวให้หารตลอดสมการ (ยกเว้นตัวแปรที่ห้ามหารตลอดสมการ เนื่องจาก ตัวแปรมีค่าเป็น 0 ได้ ซึ่งตัวส่วนเป็น 0 จะไม่สามารถหาค่าได้)
3. แยก Factor ซึ่งหลังจากแยกแล้ว ส.ป.ส. หน้าตัวแปรต้องมีค่าบวก)

การแก้สมการพหุนามรูปพิเศษ

พหุนามรูปพิเศษ คือ √กลุ่มตัวแปร หรือ เศษ/กลุ่มตัวแปร

โดยก่อนจะแก้สมการนั้น ให้ทำการเขียนเงื่อนไขของกลุ่มตัวแปรก่อน เช่น

√กลุ่มตัวแปร  (กลุ่มตัวแปร ≥ 0)

เศษ/กลุ่มตัวแปร (กลุ่มตัวแปร ≠ 0)

หลังจากเขียนเงื่อนไขดังกล่าวแล้ว ให้ทำพหุนามรูปพิเศษเป็นรูปทั่วไป แล้วแก้สมการตามขั้นตอนการแก้สมการพหุนามรูปทั่วไป และก่อนจะสรุปคำตอบ ต้องนำคำตอบที่ได้ตรวจสอบดูว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ และให้เลือกคำตอบที่เป็นไปตามเงื่อนไขเท่านั้น

การแก้อสมการ

ข้อควรรู้

• ถ้านำค่าลบมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของอสมการ เครื่องมหายอสมการต้องกลับข้าง
• การยกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการให้ a < bจะได้ a² < b² ถ้า a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ (a เป็น 0 ก็ได้)จะได้ a² > b² ถ้า a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ (b เป็น 0 ก็ได้)แต่หาก a เป็นลบ และ b เป็นบวก จะบอกไม่ได้ว่า a² < b² หรือ a² > b²

การแก้อสมการพหุนามรูปทั่วไป

ให้ทำขั้นตอนเหมือนกับการแก้สมการพหุนามรูปทั่วไปจนแยก Factor เสร็จ (ส.ป.ส. หน้าตัวแปรต้องเป็นบวกทั้งหมด) หากเจอกรณีที่แยกแล้วมีบางวงเล็บยกกำลังเลขคู่ (x – a) ^2,4,6,… ให้ใส่เครื่องหมายซ้ำเดิมจากขวาไปซ้ายที่จุด a แต่หากยกกำลังเลขคี่ (x – a) ^2,4,6,… ให้คิดเหมือน (x – a) ได้เลย

การแก้อสมการพหุนามรูปพิเศษ

พหุนามรูปพิเศษ คือ √กลุ่มตัวแปร หรือ เศษ/กลุ่มตัวแปร

โดยก่อนจะแก้อสมการนั้น ให้ทำการเขียนเงื่อนไขของกลุ่มตัวแปรก่อน เช่น

√กลุ่มตัวแปร  (กลุ่มตัวแปร ≥ 0)

เศษ/กลุ่มตัวแปร (กลุ่มตัวแปร ≠ 0)

หลังจากเขียนเงื่อนไขดังกล่าวแล้ว ให้ทำพหุนามรูปพิเศษเป็นรูปทั่วไป แล้วแก้สมการตามขั้นตอนการแก้อสมการพหุนามรูปทั่วไป และก่อนจะสรุปคำตอบ ต้องนำคำตอบที่ได้ตรวจสอบดูว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ และให้เลือกคำตอบที่เป็นไปตามเงื่อนไขเท่านั้น

ทฤษฎีเศษเหลือ

f(X) หารด้วย (x-c) เศษเหลือเท่ากับ f(c)
และหาก
f(X) หารด้วย (x-c) เศษเหลือเท่ากับ 0
f(c) = 0 แสดงว่า (x-c) เป้นตัวประกอบนึงของ f(X) หรือ (x-c) หาร f(X) ลงตัว

ตัวอย่างข้อสอบเรื่อง จำนวนจริง

1. อินเวอร์สการคูณของ √3 – 1 คือข้อใด
   ก.  + 1
   ข. 1-
   ค.
   ง.  = b
   

2. ให้ a และ b เป้นจำนวนจริงใด ๆ และ a * b = 5 + 2ab แล้วค่าของ 4*5 ตรงกับข้อใด

ก. 45
ข. 40
ค. 30
ง. 35

3. ตัวประกอบของ x3 + 2x – x – 2 เท่ากับข้อใด
ก. (x – 1) (x + 1) (x – 2)
ข. (x – 1) (x – 1) (x – 2)
ค. (x – 1) (x + 1) (x + 2)
ง. (x + 1) (x + 1) (x + 2)

4. x4 + 2×3 – 3×2 + x – 5 หารด้วย x – 1 มีเศษเหลือเท่ากับเท่าใด
ก. 5
ข. -5
ค. -4
ง. 4

5. พหุนามในข้อใดต่อไปนี้หาร x3 + 4×2 + x – 6 ไม่ลงตัว
ก. x + 2
ข. x – 1
ค. x + 1
ง. x + 3