จำนวนเชิงซ้อน สรุปสูตร ตัวอย่างข้อสอบ จำนวนเชิงซ้อน

นิยามของจำนวนเชิงซ้อน

1. จำนวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ (a,b) เมื่อ a และ b นั้นเป็นสมาชิกของจำนวนจริงซึ่งการบวก การคูณและการเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนนั้นกำหนดดังนี้

กำหนดให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงใดๆ

1) (a,b)=(c,d)(a,b)=(c,d) ก็ต่อเมื่อ a=ca=c และ b=db=d

2) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3) (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)

2. กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=(a,b) เมื่อ a,b เป็นจำนวนจริง

เรียก a ว่าส่วนจริง (real part) เขียนแทนด้วย Re(z)

เรียก b ว่าส่วนจินตภาพ (imaginary part) เขียนแทนด้วย Im(z)

หมายเหตุ : เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ที่อยู่ในรูปคู่อันดับ (a,b)(a,b) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ a+bia+bi ได้ ดังนั้น จึงนิยมเขียนจำนวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปของ a+bi เพราะสะดวกในการนำไปใช้มากกว่า โดย

เรียก aa ว่า ส่วนจริง (Real part)

เรียก bb ว่า ส่วนจินตภาพ (Imaginary part)

ส่วนการบวก การลบ การคูณ ของจำนวนเชิงซ้อนที่อยู่ในรูปของ a+bia+bi ก็จะเหมือนกับการบวก ลบ คูณหารพหุนามทั่วไป

ทฤษฏีบทของเดอร์มัวร์ (De Moivre’s Theorem)

ถ้า z=r(cosθ+isinθ)z=r(cosθ+isinθ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ n∈In∈I

จะได้ว่า

zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))zn=rn(cos(nθ)+isin(nθ))

ทฤษฏีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อต้องการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งต้องการยกกำลังครั้งละมาก ๆ เช่น ยกกำลังร้อย ยกกำลังสิบ ก็จะนำทฤษฏีบทนี้มาช่วยในการยกกำลัง เพราะแบบวิธีธรรมดาทั่วไปจะไม่สามารถทำได้

สรุปสูตรจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่างข้อสอบเรื่อง จำนวนเชิงซ้อน